若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+by’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=_________。

admin2019-08-11 81

问题若二阶常系数齐次线性微分方程y^’’+by^’+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x，则非齐次方程y^’’+ay^’+by=x满足条件y(0)=2，y^’(0)=0的特解为y=_________。

选项

答案x(1一e^x)+2

解析由常系数齐次线性微分方程y^’’+ay^’+by=0的通解为y=(C₁+C₂x)e^x可知y₁=e^x，
y₂=xe^x为其两个线性无关的解，代入齐次方程，有
y₁^’’+ay₁^’+by₁=(1+a+b)e^x=0

1+a+b=0，
y₂^’’+ay₂^’+by₂=[2+a+(1+a+b)x]e^x=0

2+a=0，
从而a=一2，b=1，故非齐次微分方程为y^’’+ay^’+by=x。
设特解y^*=Ax+B，代入非齐次微分方程，得一2A+Ax+B=x，即

所以特解为y^*=x+2，非齐次方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^x+x+2。
把y(0)=2，y^’(0)=0代入通解，得C₁=0，C₂=一1。故所求特解为
y=一xe^x+x+2=x(1一e^x)+2。

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考研数学二

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