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已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2.…的最小值记为Bn,dn=An-Bn. 证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是1或2,且有无穷多项为1.
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2.…的最小值记为Bn,dn=An-Bn. 证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是1或2,且有无穷多项为1.
admin
2019-06-01
66
问题
已知{a
n
}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为A
n
,第n项之后各项a
n+1
,a
n+2
.…的最小值记为B
n
,d
n
=A
n
-B
n
.
证明:若a
1
=2,d
n
=1(n=1,2,3,…),则{a
n
}的项只能是1或2,且有无穷多项为1.
选项
答案
因为a
1
=2,d
1
=1,所以A
1
=a
1
=2,B
1
=A
1
-d
1
=1.故对任意n≥1,a
n
≥B
1
=1. 假设数列{a
n
}(n≥2)中存在大于2的项.设m为满足a
m
>2的最小正整数,则m≥2,并且对任意1≤k<m,a
k
≤2.又因为a
1
=2,所以A
m-1
=2,且A
m
=a
m
>2.于是,B
m
=A
m
-d
m
>2—1=1,B
m-1
=min{a
m
,B
m
)≥2.故d
m-1
=A
m-1
-B
m-1
≤2—2=0,与d
m-1
=1矛盾.所以对于任意n≥1,有a
n
≤2,即非负整数列{a
n
}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1,a
n
≤2-a
1
,所以A
n
=2.故B
n
=A
n
-d
n
=2—1=1.因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且a
m
=1,即数列{a
n
}有无穷多项为1.
解析
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