2. 职业资格
  3. 案例：某教师在对根与系数关系综合运用教学时，给学生出了如下一道练习题： 设α、β是方程x2-2kx+k+b=0的两个实根，则(α-1)2+(β-1)2的最小值是( )。 A． B．8 C．18 D．不存在

案例：某教师在对根与系数关系综合运用教学时，给学生出了如下一道练习题： 设α、β是方程x2-2kx+k+b=0的两个实根，则(α-1)2+(β-1)2的最小值是( )。 A． B．8 C．18 D．不存在

admin2015-08-13  78
问题 案例：某教师在对根与系数关系综合运用教学时，给学生出了如下一道练习题：
    设α、β是方程x2-2kx+k+b=0的两个实根，则(α-1)2+(β-1)2的最小值是(  )。
            A．  B．8    C．18    D．不存在
    某学生的解答过程如下：
    利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k，αβ=k+6
    所以(α-1)2+(β一1)2=α2-2α+1+β2+1=(α+β)2一2αβ-2(α+β)+2=4。故选A。
    问题：
    (1)指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；
    (2)给出你的正确解答；
    (3)指出你在解题时运用的数学思想方法。
选项
答案(1)受到选项A的诱惑，一看到[*]则立即选了答案[*]，这正是思维缺乏反思性的体现，从而忽视了一元二次方程有根，则判别式△≥0这个隐含条件。 (2)利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k，αβ=k+6， 所以(α-1)2+(β-1)2=a2-2α+1+β2-2β+1=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4[*]。 原方程有两个实根α、β，∴△=4k2-4(k+6)≥0=>k≤-2或者k≥3 当k≥3时，(α-1)2+(β-1)2的最小值是8； 当k≤-2时，(α-1)2+(β-1)2的最小值是18，故选择B。 (3)本题所运用的是化归的数学思想方法。
解析
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