(1996年)设f(x)有连续导数,f(0)=0,f’(0)≠0,且当x→0时,f’(x)与xk是同阶无穷小,则k等于( )

admin2018-07-01  25

问题 (1996年)设f(x)有连续导数,f(0)=0,f’(0)≠0,且当x→0时,f’(x)与xk是同阶无穷小,则k等于(      )

选项 A、1.
B、2.
C、3.
D、4.

答案C

解析 解1  
    由于而上式右端极限存在且为非零常数,则k=3,所以应选(C).
    解2  由原题知当x→0时,F’(x)与xk为同阶无穷小,换句话说,当x→0时,F’(x)是x的k阶无穷小,本题要决定k,即要决定当x→0时,F’(x)是x的几阶无穷小,如果能决定F(x)是x的几阶无穷小,降一阶就应是F’(x)的阶数.下面来决定F(x)是x的几阶无穷小.由于
                        f(t)=f(0)+f’(0)t+o(t)=f’(0)t+o(t)
    由于上式中第二项o(t)是高阶:无穷小,略去它不影响F(x)的阶数,则x→0时,与F(x)的阶数相同,而
            
    显然它是x的四阶无穷小,则x→0时F(x)是x的四阶无穷小,F’(x)应是x的三阶无穷小,故应选(C).
    △解3  与解2前面的分析一样,本题只要能确定F(x)是x的几阶无穷小,问题就得到解决.在F(x)=的表达式中有一个一般函数f(t),这样一个一般的f(x)它都能决定F(x)的阶数,那么取一个具体的f(t),比如取f(t)=t,当然同样也可以决定结果.将f(t)=t代入
               
    显然它是x的四阶无穷小,从而F’(x)是x的三阶无穷小,所以应选(C).
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