设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1=，η1+η1=，求该方程组的通解．

admin2021-02-25 53

问题设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η₁，η₂，η₃是它的三个解向量，且η₁=

，η₁+η₁=

，求该方程组的通解．

选项

答案设方程组为Ax=b，因为R(A)=3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系含1个向量，即Ax=0的任一非零解均是一个基础解系．令ξ=2η₁一(η₂+η₃)=(3，4，5，6)^T，则 Aξ=A(2η₁一(η₂+η₃))=2Aη₁一Aη₂一Aη₃=2b一b一b=0．所以ξ是方程组Ax=0的一个基础解系，从而可得原方程组的通解为 x=kξ+=η₁[*]

解析

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