判断下列结论是否正确,并证明你的判断. (I)若xn<yn(n>N),且存在极限xn=A,yn=B,则A<B; (II)设f(x)在(a,b)有定义,又c∈(a,b)使得极限f(x)=A,则f(x)在(a,b)有界; (Ⅲ)若f(x)=∞,则δ>0使得当0

admin2017-05-18  43

问题 判断下列结论是否正确,并证明你的判断.
(I)若xn<yn(n>N),且存在极限xn=A,yn=B,则A<B;
(II)设f(x)在(a,b)有定义,又c∈(a,b)使得极限f(x)=A,则f(x)在(a,b)有界;
(Ⅲ)若f(x)=∞,则δ>0使得当0<|x-a|<δ时有界.

选项

答案(I)不正确.在题设下只能保证A≤B,不能保证A<B.例如,xn=[*],则xn<yn,而[*]yn=0. (Ⅱ)不正确.这时只能保证:[*]点c的一个空心邻域U0(c,δ)=|x|0<|x-c|<δ|使f(x)在U0(c,δ)中有界,一般不能保证f(x)在(a,b)有界.例如:f(x)=[*], (a,b)=(0,1),取定c∈(0,1),则[*]在(0,1)无界. (Ⅲ)正确.因为[*]=0,由存在极限的函数的局部有界性[*]δ>0使得当0<|x-a|<δ时[*]有界.

解析
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