2. 考研
  3. (Ⅰ)设f(x)在(a，+∞)可导且f’(x)=A，求证：若A＞0，则f(x)=+∞；若A＜0，则f(x)=一∞． (Ⅱ)设g(x)在[a，+∞)连续，且∫a+∞g(x)dx收敛，又g(x)=l，求证l=0．

(Ⅰ)设f(x)在(a，+∞)可导且f’(x)=A，求证：若A＞0，则f(x)=+∞；若A＜0，则f(x)=一∞． (Ⅱ)设g(x)在[a，+∞)连续，且∫a+∞g(x)dx收敛，又g(x)=l，求证l=0．

admin2020-01-15  44
问题 (Ⅰ)设f(x)在(a，+∞)可导且f’(x)=A，求证：若A＞0，则f(x)=+∞；若A＜0，则f(x)=一∞．
(Ⅱ)设g(x)在[a，+∞)连续，且∫a+∞g(x)dx收敛，又g(x)=l，求证l=0．
选项
答案(Ⅰ)联系f(x)与f’(x)的是拉格朗日中值定理，取x0∈(a，+∞)，[*]x＞x0。有 f(x)=f(x0)+f’(ξ)(x一x0)(x0＜ξ＜x)． (*) 下面估计f’(ξ)：由[*]=A，设A＞0，由极限的不等式性质→[*]X＞a，当x＞X时f’(x)＞[*]．现取定x0＞X，当x＞x0时，由于ξ＞x0＞X，有f’(ξ)＞[*]，于是由(*)式得 [*] (Ⅱ)记f(x)=∫axg(t)dt，则f(x)在[a，+∞)内可导且f’(x)=g(x)，[*]．若x≠0，则l＞0或＜0，由题(Ⅰ)→[*]=∫a+∞g(t)dt=+∞(或一∞)，与∫a+∞g(t)dt收敛矛盾．因此l=0．
解析
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考研数学二

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