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(Ⅰ)设f(x)在(a,+∞)可导且f’(x)=A,求证:若A>0,则f(x)=+∞;若A<0,则f(x)=一∞. (Ⅱ)设g(x)在[a,+∞)连续,且∫a+∞g(x)dx收敛,又g(x)=l,求证l=0.
(Ⅰ)设f(x)在(a,+∞)可导且f’(x)=A,求证:若A>0,则f(x)=+∞;若A<0,则f(x)=一∞. (Ⅱ)设g(x)在[a,+∞)连续,且∫a+∞g(x)dx收敛,又g(x)=l,求证l=0.
admin
2020-01-15
28
问题
(Ⅰ)设f(x)在(a,+∞)可导且
f’(x)=A,求证:若A>0,则
f(x)=+∞;若A<0,则
f(x)=一∞.
(Ⅱ)设g(x)在[a,+∞)连续,且∫
a
+∞
g(x)dx收敛,又
g(x)=l,求证l=0.
选项
答案
(Ⅰ)联系f(x)与f’(x)的是拉格朗日中值定理,取x
0
∈(a,+∞),[*]x>x
0
。有 f(x)=f(x
0
)+f’(ξ)(x一x
0
)(x
0
<ξ<x). (*) 下面估计f’(ξ):由[*]=A,设A>0,由极限的不等式性质→[*]X>a,当x>X时f’(x)>[*].现取定x
0
>X,当x>x
0
时,由于ξ>x
0
>X,有f’(ξ)>[*],于是由(*)式得 [*] (Ⅱ)记f(x)=∫
a
x
g(t)dt,则f(x)在[a,+∞)内可导且f’(x)=g(x),[*].若x≠0,则l>0或<0,由题(Ⅰ)→[*]=∫
a
+∞
g(t)dt=+∞(或一∞),与∫
a
+∞
g(t)dt收敛矛盾.因此l=0.
解析
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考研数学二
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