设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。 求矩阵A的特征值与特征向量;

admin2019-02-23  44

问题 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(一1,2,一1)T,α2=(0,一1,1)T是线性方程组Ax=0的两个解。
求矩阵A的特征值与特征向量;

选项

答案因为矩阵A的各行元素之和均为3,所以有 [*] 则λ=3是矩阵A的特征值,α=(1,1,1)T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1,1,1)T,其中k是不为零的常数。 又由题设知Aα1=0,Aα2=0,即Aα1=0·α1,Aα2=0·α2,而且α1,α2线性无关,所以λ=0是矩阵A的二重特征值,α1,α2是其对应的特征向量,因此对应λ=0的全部特征向量为 k1α1+k2α2=k1(一1,2,一1)T+k2(0,一1,1)T,其中k1,k2是不全为零的常数。

解析
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