2. 考研
  3. 设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1. (1)确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1. (1)确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

admin2022-08-19  115
问题 设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1.
(1)确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值；
(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
选项
答案(1)直线y=ax与抛物线y=x2的交点为(0，0)，(a2，a2). 当0＜a＜1时，S=S1+S2=∫0a(ax-x2)dx+∫a1(x2-ax)dx=-1/3a3-a/2+1/3， [*] 当a≤0时，S=∫a0(ax-x2)dx+∫01(x2-ax)dx=-1/6a3-a/2+1/3， 因为S′=-1/2(a2+1)＜0，所以S(a)单调减少，故a=0时S1+S2取最小值，而S(0)=1/3， [*]
解析
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考研数学三

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