设f(x)连续且=2,φ(x)=f(xt)dt,求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性.

admin2017-11-13  22

问题 设f(x)连续且=2,φ(x)=f(xt)dt,求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性.

选项

答案φ(x)的表达式中,积分号内含参变量x,通过变量转化成限积分. x≠0时,φ(x)=[*]f(xt)d(xt)[*]f(s)ds;x=0时,φ(0)=[*]f(0)dt=f(0). 由f(x)在x=0连续及[*]=2,则f(0)=[*]f(x)=[*]=2×0=0. 因此[*] 求φ’(x)即求这个分段函数的导数,x≠0时与变限积分求导有关,x=0时可按定义求导. [*] 因此,[*] 最后考察φ’(x)的连续性.显然,x≠0时φ’(x)连续,又 [*] 即φ’(x)在x=0也连续,因此φ’(x)处处连续.

解析
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