设f(x)连续且＝2，φ(x)＝f(xt)dt，求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性．

admin2017-11-13 50

问题设f(x)连续且

＝2，φ(x)＝

f(xt)dt，求φ’(x)并讨论φ’(x)的连续性．

选项

答案φ(x)的表达式中，积分号内含参变量x，通过变量转化成限积分． x≠0时，φ(x)＝[*]f(xt)d(xt)[*]f(s)ds；x＝0时，φ(0)＝[*]f(0)dt＝f(0)．由f(x)在x＝0连续及[*]＝2，则f(0)＝[*]f(x)＝[*]＝2×0＝0．因此[*] 求φ’(x)即求这个分段函数的导数，x≠0时与变限积分求导有关，x＝0时可按定义求导． [*] 因此，[*] 最后考察φ’(x)的连续性．显然，x≠0时φ’(x)连续，又 [*] 即φ’(x)在x＝0也连续，因此φ’(x)处处连续．

解析

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