设y=ex(C1sinc+C2cosx)(C1，C2是任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为_____．

admin2017-10-25 49

问题设y=e^x(C₁sinc+C₂cosx)(C₁，C₂是任意常数)为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为_____．

选项

答案y’’-2y’+2y=0

解析本题可以从不同思路分析：其一，由通解形式可得特征根，根据特征根写出特征方程，最后由特征方程与微分方程的关系写出所求微分方程；其二，由通解消去参数C₁，C₂，得所求微分方程．
根据二阶常系数齐次线性微分方程的特征根与对应通解之间的关系可知，特征根为一对复数根：λ_1,2=1±i，于是特征方程为
[λ-(1+i)][λ-(1-i)]=λ²-2λ+2=0，
故相应的二阶常系数齐次线性微分方程为
y’’-2y’+2y=0．

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