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二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3的秩为2,求c及此二次型的规范形,并写出相应的坐标变换.
二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3的秩为2,求c及此二次型的规范形,并写出相应的坐标变换.
admin
2016-10-20
67
问题
二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=5x
1
2
+5x
2
2
+cx
3
2
-2x
1
x
2
-6x
2
x
3
+6x
1
x
3
的秩为2,求c及此二次型的规范形,并写出相应的坐标变换.
选项
答案
二次型矩阵A=[*],由二次型的秩为2,即矩阵A的秩r(A)=2,则有 |A|=24(c-3)=0[*]c=3. 由特征多项式 [*] 可知矩阵A的特征值是0,4,9. 由(0E-A)x=0得A=0的特征向量α
1
=(-1,1,2)
T
. 由(4E-A)x=0得A=4的特征向量α
2
=(1,1,0)
T
. 由(9E-A)x=0得A=9的特征向量α
3
=(1,-1,1)
T
. 令P
1
=(α
1
,α
2
,α
3
),经x=P
1
y有x
T
Ax=y
T
Ay= [*]. 而所用坐标变换是x=Cz,其中 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KlT4777K
0
考研数学三
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