2. 考研
  3. 设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT，求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．

设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT，求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．

admin2013-09-29  52
问题 设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT，求：
(Ⅰ)A2；
(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案(Ⅰ)由题设，a，β都是非零向量，且aTβ=0，则βTa=0， 则A2=(aβT)(aβT)=(βTA)aβT=0，即A2为零矩阵． (Ⅱ)由特征值与特征向量的定义，设λ为A的特征值，x为其相应的特征向量， 则Ax=λx，x≠0，由前述知A2=0，从而0=AAx=λAx=λ2x，即λ=0， 所以A的所有特征值都为0． [*] 所以A的特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-1，其中k1，k2，…，kn-1是不全为0的任意常数．
解析
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考研数学三

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