2. 公务员
  3. 已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足条件：f(一x+5)=f(x一3)，且方程f(x)=x有等根． (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，

已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足条件：f(一x+5)=f(x一3)，且方程f(x)=x有等根． (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，

admin2017-01-14  6
问题 已知函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足条件：f(一x+5)=f(x一3)，且方程f(x)=x有等根．
    (1)求f(x)的解析式；
    (2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]?如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
选项
答案(1)已知f(x)=ax2+bx(a≠0)，则有f(0)=0，f(2)=4a+2b． 又因为f(一x+5)=f(x一3)，令x=3，则f(2)=f(0)=0，即4a+2b=0，得b=一2a， 又因为f(x)=x有等根，则方程ax2一2ax=x的两个根x1=0与x2=[*](a≠0)相等， [*] ①当m＜n≤1时，函数f(x)在[m，n]上单调递增， 则可令[*]，解得m=0或m=一4，n=0或n=一4． 又因为n＞m，故n=0，m=一4满足题意． ②当n＞m≥1时，函数f(x)在[m，n]上单调递减， 则可令[*]，化简得到8(m一n)=(m+n)(m一n)， 又因为n＞m，故可得到m+n=8， 将其代入f(m)=3n可得到m2一8m+48=0，m无实数解． ③当m＜1＜n时，函数的最大值为[*]，这与n＞1不符． 综上所述，存在实数m、n，使得f(x)的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]，此时，n=0，m=一4．
解析
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