设A=E-ααT ,其中α为n维非零列向量.证明: (1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵.

admin2020-03-10  26

问题 设A=E-ααT ,其中α为n维非零列向量.证明:
(1)A2=A的充分必要条件是α为单位向量;
(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵.

选项

答案(1)令αTα=k,则A2=(E-αTα)(E-ααT)=E-2ααT+kααT,因为α为非零 向量,所以ααT≠O,于是A2=A的充分必要条件是k=1,而αTα=|α|2,所以A2=A 的充要条件是α为单位向量. (2)当α是单位向量时,由A2=A得r(A)+r(E-A)=n,因为E-A=ααT≠O,所以 r(E-A)≥1,于是r(A)≤n-1<n,故A是不可逆矩阵.

解析
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