设A＝E－ααT ，其中α为n维非零列向量．证明： (1)A2＝A的充分必要条件是α为单位向量； (2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

admin2020-03-10 61

问题设A＝E－αα^T ，其中α为n维非零列向量．证明：
(1)A²＝A的充分必要条件是α为单位向量；
(2)当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

选项

答案(1)令α^Tα＝k，则A²＝(E－α^Tα)(E－αα^T)＝E－2αα^T＋kαα^T，因为α为非零向量，所以αα^T≠O，于是A²＝A的充分必要条件是k＝1，而α^Tα＝｜α｜²，所以A²＝A 的充要条件是α为单位向量． (2)当α是单位向量时，由A²＝A得r(A)＋r(E－A)＝n，因为E－A＝αα^T≠O，所以 r(E－A)≥1，于是r(A)≤n－1＜n，故A是不可逆矩阵．

解析

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考研数学三

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