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设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2一2bx1x3+2x2x3经过正交变换化为3y12+3y22。 (I)求a，b的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，使二次型化为标准形。
设二次型f(x1，x2，x3)=2x12+ax22+2x32+2x1x2一2bx1x3+2x2x3经过正交变换化为3y12+3y22。 (I)求a，b的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，使二次型化为标准形。
admin
2016-03-16
51
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2x
1
2
+ax
2
2
+2x
3
2
+2x
1
x
2
一2bx
1
x
3
+2x
2
x
3
经过正交变换化为3y
1
2
+3y
2
2
。
(I)求a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，使二次型化为标准形。
选项
答案
[*] 则f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax，因为二次型经过正交变换化为了3y
1
2
+3y
2
2
。所以矩阵A的三个特征值分别为λ
1
=3，λ
2
=3，λ
3
=0，根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和)，特征值的乘积是矩阵行列式的值，即有λ
1
+λ
2
+λ
3
=4+a=6，得a=2，λ
1
λ
2
λ
3
=｜A｜=一2(b+2)(b—1)=0，得b=一2或b=1。 [*] 则存在正交变换x=Qy，使二次型化为标准形3y
1
2
+3y
2
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/L7U4777K
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考研数学三
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