设f(χ)在[a，＋∞)内二阶可导，f(a)＝A＞0，f′(a)＜0，f〞(χ)≤0(χ＞a)，则f(χ)在[a，＋∞)内( )．

admin2014-12-09 97

问题设f(χ)在[a，＋∞)内二阶可导，f(a)＝A＞0，f′(a)＜0，f〞(χ)≤0(χ＞a)，则f(χ)在[a，＋∞)内( )．

选项 A、无根
B、有两个根
C、有无穷多个根
D、有且仅有一个根

答案D

解析 f(χ)＝f(a)＋f′(a)(χ－a)＋

(χ－a)²，其中ξ介于a与χ之间．
因为f(a)＝A>0，

f(χ)＝－∞，所以f(χ)在[a，＋∞)上至少有一个根．
由f〞(χ)≤0(χ＞a)

f′(χ)单调不增，所以当χ＞a以时，f′(χ)≤f′(a)＜0

f(χ)在[a，＋∞)为单调减函数，所以根是唯一的．

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