设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则( )

admin2016-05-31 28

问题设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_m-1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α₁，α₂，…，α_m-1，β，则( )

选项 A、α_m不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．
B、α_m不能由(Ⅰ)线性表示，但可以由(Ⅱ)线性表示．
C、α_m可以由(Ⅰ)线性表示，也可以由(Ⅱ)线性表示．
D、α_m可以由(Ⅰ)线性表示，但不能由(Ⅱ)线性表示．

答案B

解析按题意，存在组实数k₁，k₂，…，k_m使得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=β (*)
且必有k_m≠0．否则与β不能由α₁，α₂，…，α_m-1线性表示相矛盾，从而

  即α_m可由向量组(Ⅱ)线性表示，排除选项A、D．
若α_m可以由(Ⅰ)线性表示，即存在实数l₁，l₂，…，l_m-1，使得
α_m=l₁α₁+l₂α₂+…+l_m-1α_m-1，
  将其代入(*)中，整理得
β=(k₁+k_ml₁)α₁+(k₂+k_ml₂)α₂+…+(k_m-1+k_ml_m-1)α_m-1，
  这与题设条件矛盾．因而α_m不能由向量组(Ⅰ)线性表示，排除选项C.

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考研数学三

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