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设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则( )
设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,…,αm-1,β,则( )
admin
2016-05-31
14
问题
设向量β可由向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,记向量组(Ⅱ):α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β,则( )
选项
A、α
m
不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示.
B、α
m
不能由(Ⅰ)线性表示,但可以由(Ⅱ)线性表示.
C、α
m
可以由(Ⅰ)线性表示,也可以由(Ⅱ)线性表示.
D、α
m
可以由(Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示.
答案
B
解析
按题意,存在组实数k
1
,k
2
,…,k
m
使得
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m
α
m
=β (*)
且必有k
m
≠0.否则与β不能由α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示相矛盾,从而
即α
m
可由向量组(Ⅱ)线性表示,排除选项A、D.
若α
m
可以由(Ⅰ)线性表示,即存在实数l
1
,l
2
,…,l
m-1
,使得
α
m
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
m-1
α
m-1
,
将其代入(*)中,整理得
β=(k
1
+k
m
l
1
)α
1
+(k
2
+k
m
l
2
)α
2
+…+(k
m-1
+k
m
l
m-1
)α
m-1
,
这与题设条件矛盾.因而α
m
不能由向量组(Ⅰ)线性表示,排除选项C.
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考研数学三
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