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已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l1:bx+2cy+3a=0, l1:cx+2ay+36=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l1:bx+2cy+3a=0, l1:cx+2ay+36=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2014-07-22
89
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0,
l
1
:bx+2cy+3a=0,
l
1
:cx+2ay+36=0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
[详解1] 必要性.设三条直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则线性方程组 [*] 有唯一解,故系数矩阵[*]与增广矩阵[*]的秩均为2,于 是[*] 由于[*] =6(a+6+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) =3(a+6+c)[(a-b))
2
+(b-c)
2
+(c—a)
2
], 但根据题设(a-b)
2
+(b-c)
2
+((c-a)
2
≠0,故a+b+c=0. 充分性.由a+6+c=一0,则从必要性的证明可知,[*]。 由于[*] 故r(A)=2.于是, 因此方程组①有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于点. [详解2] 必要性.设三直线交于一点(x
0
,y
0
),则[*]为Ax=0的非零解,其中 [*] 于是 |A|=0. 而[*] =-6(a+6+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) =-3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
], 但根据题设(a-b)
2
+(b—c)
2
+(c-a)
2
≠0,故 a+b+c=一0. 充分性.考虑线性方程组 [*] ① 将方程组①的三个方程相加,并由“+6+c:0可知,方程组①等价于方程组 [*] ② 因为[*]=2(ac-b
2
)=-2[a(a+b)+b
2
] =-a
2
+b
2
+(a+b)
2
]≠0, 故方程组②有唯一解,所以方程组①有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
[分析] 三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解,进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.
[评注] 本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定,而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算,进而转化为行列式的计算,综合考查了多个知识点.
设有齐次线性方程组
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考研数学二
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