2. 考研
  3. 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax＋2by＋3c＝0， l1：bx＋2cy＋3a＝0， l1：cx＋2ay＋36＝0． 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax＋2by＋3c＝0， l1：bx＋2cy＋3a＝0， l1：cx＋2ay＋36＝0． 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

admin2014-07-22  52
问题 已知平面上三条不同直线的方程分别为
    l1：ax＋2by＋3c＝0，
    l1：bx＋2cy＋3a＝0，
    l1：cx＋2ay＋36＝0．
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．
选项
答案[详解1] 必要性．设三条直线l1，l2，l3交于一点，则线性方程组 [*] 有唯一解，故系数矩阵[*]与增广矩阵[*]的秩均为2，于 是[*] 由于[*] ＝6(a＋6＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) ＝3(a＋6＋c)[(a－b))2＋(b－c)2＋(c—a)2]， 但根据题设(a－b)2＋(b－c)2＋((c－a)2≠0，故a＋b＋c＝0． 充分性．由a＋6＋c＝一0，则从必要性的证明可知，[*]。 由于[*] 故r(A)＝2．于是， 因此方程组①有唯一解，即三直线l1，l2，l3交于点． [详解2] 必要性．设三直线交于一点(x0，y0)，则[*]为Ax＝0的非零解，其中 [*] 于是 ｜A｜＝0． 而[*] ＝－6(a＋6＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) ＝－3(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]， 但根据题设(a－b)2＋(b—c)2＋(c－a)2≠0，故 a＋b＋c＝一0． 充分性．考虑线性方程组 [*] ① 将方程组①的三个方程相加，并由“＋6＋c：0可知，方程组①等价于方程组 [*] ② 因为[*]＝2(ac－b2)＝－2[a(a＋b)＋b2] ＝－a2＋b2＋(a＋b)2]≠0， 故方程组②有唯一解，所以方程组①有唯一解，即三直线l1，l2，l3交于一点．
解析 [分析]  三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．   
[评注]  本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点．
设有齐次线性方程组
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考研数学二

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