首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l1:bx+2cy+3a=0, l1:cx+2ay+36=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l1:bx+2cy+3a=0, l1:cx+2ay+36=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2014-07-22
38
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0,
l
1
:bx+2cy+3a=0,
l
1
:cx+2ay+36=0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
[详解1] 必要性.设三条直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则线性方程组 [*] 有唯一解,故系数矩阵[*]与增广矩阵[*]的秩均为2,于 是[*] 由于[*] =6(a+6+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) =3(a+6+c)[(a-b))
2
+(b-c)
2
+(c—a)
2
], 但根据题设(a-b)
2
+(b-c)
2
+((c-a)
2
≠0,故a+b+c=0. 充分性.由a+6+c=一0,则从必要性的证明可知,[*]。 由于[*] 故r(A)=2.于是, 因此方程组①有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于点. [详解2] 必要性.设三直线交于一点(x
0
,y
0
),则[*]为Ax=0的非零解,其中 [*] 于是 |A|=0. 而[*] =-6(a+6+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) =-3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
], 但根据题设(a-b)
2
+(b—c)
2
+(c-a)
2
≠0,故 a+b+c=一0. 充分性.考虑线性方程组 [*] ① 将方程组①的三个方程相加,并由“+6+c:0可知,方程组①等价于方程组 [*] ② 因为[*]=2(ac-b
2
)=-2[a(a+b)+b
2
] =-a
2
+b
2
+(a+b)
2
]≠0, 故方程组②有唯一解,所以方程组①有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
[分析] 三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解,进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.
[评注] 本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定,而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算,进而转化为行列式的计算,综合考查了多个知识点.
设有齐次线性方程组
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LR34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
已知函数y=f(x)在(一∞,+∞)上具有二阶连续的导数,且其一阶导函数f′(x)的图形如图3-1所示,则f(x)的递增区间为_______.
将函数y=sin(2x)展开为带有皮业诺余项的三阶麦克劳林公式为__________.
已知f(x)是可导函数且满足则f′(1)=_________.
若则f(x)=().
下列函数在(一1,1)内可微的是().
设函数f(x)在[a,b]时连续,在(a,b)内可导,f(x)≤0,求证:在(a,b)内,F′(x)≤0.
设f(x)在(-∞,+∞)上具有二阶导数,且求
设y1,y2是二阶微分方程y"+p(x)y′+q(x)y=0的两个解,则y=C1y1+C2y2(C1,C2为两个任意常数)必是该方程的().
多项式中x3项的系数为________.
随机试题
我国刑法规定对单位犯罪采取()。
下列生理过程中,属于负反馈调节的是()
显像剂被脏器或组织摄取的机制与显像方法的关系,放射性胶体淋巴显像为
泛霜是指砖内可溶性的盐类在砖的表面析出的现象。泛霜不仅影响建筑物的外观,还会造成砖的表面出现粉化与脱落,破坏砖与砂浆层的粘结,因此《烧结普通砖》(GB5101—2003)规定,烧结普通砖不允许出现泛霜。()
注册建造师在市政公用工程管理文件中的签章规范要求有()。
工程量清单单价法是根据招标文件按照国家统一的工程量计算规则计算工程量的,该方法计算工程造价采用的形式是()。
甲将其收藏的一件字画卖给乙,约定价款10万元。后甲将该债权转让给丙并通知了乙。在字画交付之前,该画因地震意外灭失,则乙()。
“后印象派”一词,创自英国艺术评论家罗杰.弗莱,后印象派本来指很多画家,现在习惯上仅指凡.高、高更和()三位画家。
小学英语课程中写作技能的二级目标为:学生能根据写作要求收集、准备索材,独立起草短文,能使用常见的连词表示逻辑关系。
眼镜:眼睛
最新回复
(
0
)