首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l1:bx+2cy+3a=0, l1:cx+2ay+36=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l1:bx+2cy+3a=0, l1:cx+2ay+36=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2014-07-22
65
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0,
l
1
:bx+2cy+3a=0,
l
1
:cx+2ay+36=0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
[详解1] 必要性.设三条直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则线性方程组 [*] 有唯一解,故系数矩阵[*]与增广矩阵[*]的秩均为2,于 是[*] 由于[*] =6(a+6+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) =3(a+6+c)[(a-b))
2
+(b-c)
2
+(c—a)
2
], 但根据题设(a-b)
2
+(b-c)
2
+((c-a)
2
≠0,故a+b+c=0. 充分性.由a+6+c=一0,则从必要性的证明可知,[*]。 由于[*] 故r(A)=2.于是, 因此方程组①有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于点. [详解2] 必要性.设三直线交于一点(x
0
,y
0
),则[*]为Ax=0的非零解,其中 [*] 于是 |A|=0. 而[*] =-6(a+6+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) =-3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
], 但根据题设(a-b)
2
+(b—c)
2
+(c-a)
2
≠0,故 a+b+c=一0. 充分性.考虑线性方程组 [*] ① 将方程组①的三个方程相加,并由“+6+c:0可知,方程组①等价于方程组 [*] ② 因为[*]=2(ac-b
2
)=-2[a(a+b)+b
2
] =-a
2
+b
2
+(a+b)
2
]≠0, 故方程组②有唯一解,所以方程组①有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
[分析] 三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解,进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.
[评注] 本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定,而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算,进而转化为行列式的计算,综合考查了多个知识点.
设有齐次线性方程组
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LR34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
已知函数y=f(x)在(一∞,+∞)上具有二阶连续的导数,且其一阶导函数f′(x)的图形如图3-1所示,则f(x)的递增区间为_______.
若则f′(0)=().
下列函数在(一1,1)内可微的是().
已知函数f(x)在(一∞,+∞)内具有二阶连续导数,且其一阶导函数f′(x)的图形如图8一1所示,则:曲线y=f(x)的下凸(或上凹)区间为________.
证明当x>0时,不等式成立.
下列反常积分收敛的是()
求级数的收敛域。
设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则=_________.
设k>1,D是由曲线与它的水平渐近线之间的从x=2延伸到x→+∞的无界区域,当k为何值时,D的面积最小,并求出最小值。
随机试题
看板的种类有许多种,常见的形式有()
下列关于划拨建设用地使用权转让的条件,正确的是()。
在货币乘数不变的条件下,金融当局即可通过控制()来控制整个货币供给量。
甲供热公司将锅炉安装工程发包给资质符合要求的乙公司,下列对现场安全管理的做法中,错误的是()。
危险物品的生产、经营、储存单位以及矿山、建筑施工单位()。
某商品流通企业的物流部门只为本企业提供服务。随着物流业振兴规划的出台,企业的决策层对市场上现有的物流企业进行了调查分析,对本企业的资金运作、物流部门的员工及其技能、物流设备及其运转能力等内部条件进行了认真的分析研究,决定成立一个独立经营、自负盈亏的MK物流
一个测验或测量工具能够正确测量所要测量事物的属性或特征的程度被称为【】
小学四年级新上任的班主任刘老师经过一个月的观察,总结了班里每个学生的特长,并据此展开有针对性的教学,刘老师的做法体现了尊重个体身心发展的()。
用下列词语组成一段话。词语可颠倒顺序:公务员、政府、民生、民意、惠民、爱民、公仆、贪污、渎职、惩处。
在IEEE802.11b点对点模式中,唯一需要的无线设备是()。
最新回复
(
0
)