首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l1:bx+2cy+3a=0, l1:cx+2ay+36=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1:ax+2by+3c=0, l1:bx+2cy+3a=0, l1:cx+2ay+36=0. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
admin
2014-07-22
64
问题
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l
1
:ax+2by+3c=0,
l
1
:bx+2cy+3a=0,
l
1
:cx+2ay+36=0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.
选项
答案
[详解1] 必要性.设三条直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点,则线性方程组 [*] 有唯一解,故系数矩阵[*]与增广矩阵[*]的秩均为2,于 是[*] 由于[*] =6(a+6+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) =3(a+6+c)[(a-b))
2
+(b-c)
2
+(c—a)
2
], 但根据题设(a-b)
2
+(b-c)
2
+((c-a)
2
≠0,故a+b+c=0. 充分性.由a+6+c=一0,则从必要性的证明可知,[*]。 由于[*] 故r(A)=2.于是, 因此方程组①有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于点. [详解2] 必要性.设三直线交于一点(x
0
,y
0
),则[*]为Ax=0的非零解,其中 [*] 于是 |A|=0. 而[*] =-6(a+6+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc) =-3(a+b+c)[(a-b)
2
+(b-c)
2
+(c-a)
2
], 但根据题设(a-b)
2
+(b—c)
2
+(c-a)
2
≠0,故 a+b+c=一0. 充分性.考虑线性方程组 [*] ① 将方程组①的三个方程相加,并由“+6+c:0可知,方程组①等价于方程组 [*] ② 因为[*]=2(ac-b
2
)=-2[a(a+b)+b
2
] =-a
2
+b
2
+(a+b)
2
]≠0, 故方程组②有唯一解,所以方程组①有唯一解,即三直线l
1
,l
2
,l
3
交于一点.
解析
[分析] 三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯一解,进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.
[评注] 本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定,而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算,进而转化为行列式的计算,综合考查了多个知识点.
设有齐次线性方程组
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/LR34777K
0
考研数学二
相关试题推荐
过原点(0,0)向曲线Γ:作切线L,记切点为(x0,y0),由切线L、曲线Γ以及x轴围成的平面图形为D.试求切点(x0,y0)的数值,并写出切线L的方程;
设试求和
1;
将函数y=sin(2x)展开为带有皮业诺余项的三阶麦克劳林公式为__________.
已知函数f(x)在(一∞,+∞)内具有二阶连续导数,且其一阶导函数f′(x)的图形如图8一1所示,则:曲线y=f(x)的下凸(或上凹)区间为________.
已知函数f(x)在(一∞,+∞)内具有二阶连续导数,且其一阶导函数f′(x)的图形如图8一1所示,则:f(x)的极大值点为__________.
求微分方程xdy+(y-3)dx=0的满足初始条件y(1)=0特解.
设二次型f(x1,x2,x3)=5x12+ax22+3x32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的矩阵合同于,(Ⅰ)求常数a;(Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1,x2,x3)为标准形。
某游艇在速度为5(米/秒)时关闭发动机,靠惯性在水中滑行.假设游艇滑行时所受到的阻力与其速度成正比,已知4秒后游艇的速度为2.5(米/秒).试求游艇速度v与时间t的关系,并求游艇滑行的最大距离.
随机试题
Acandlelitdinnerworkswondersforromance.Nowscientistssayitcouldalsobegoodforyourheart.Breathingincandlesmoke
199×年×月×日,某化工厂发生一起火药爆炸事故,造成22人死亡,3人受伤,约200m2及部分机器设备被炸毁,直接经济损失40.48万元。事发当时,该厂84号车间条装工序一螺旋输送器空心螺杆在运行中断裂,车间副主任熊某某(事故中死亡)了解情况后,为了不
下列事项中,属于或有事项的有()。
提高利率可能产生的经济影响有()。
儿童入学后的适应性问题表现在哪些方面?
2011年上半年,上海规模以上社会服务业单位共实现总产出4982.94亿元,比上年同期增长16.1%,占社会服务业总产出的80.8%。其中,规模以上企业实现总产出3982.11亿元,增长16%,占社会服务业企业总产出的82.7%;规模以上非企业单位实现总产
七星期战争
在计算机系统中,负责计算机各个部分自动协调地工作,完成对指令的解释和执行的部件是
A、Around6p.m.B、Around7p.m.C、Around8:30a.m.D、Around8:30p.m.D根据女士所说的“around8:30”可知,她将在8:30左右到达车站。而由常识可知,派对一般都是晚上举办
Anycustomercanlodgehiscomplaintwiththemanager_____________(如果在入住本酒店期间没有得到良好拭目以待服务).
最新回复
(
0
)