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  3. 证明：当x≠0时，ex+e-xx2+2

证明：当x≠0时，ex+e-xx2+2

admin2021-12-23  64
问题 证明：当x≠0时，ex+e-xx2+2
选项
答案证明：要证当x≠0时，ex+e-x＞x2+2 只要证当x＞0时，ex+e-x＞x2+2且当x＜0时，ex+e-x＞x2+2 令f(x)=ex+e-x-x2-2 ∴f′(x)=ex-e-x-2x ∴f″(x)=ex+e-x-2 ∴f″(x)=ex-e-x 令f″(x)=0，则 ∴x∈(-∞，0)时，ex∈(0，1)，ex＜e-x，f″(x)＜0 x∈(0，+∞)时，ex∈(1，+∞)，ex＞e-x，f″(x)＞0 ∴x∈(-∞，0)，f″(x)单调递减，x ∈(0，+∞)，f″(x)单调递增 ∴f″(x)≥f″(0)=0 ∴f′(x)在R上单调递增 令f′(x)=0，则x=0 ∴z∈(-∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，f(x)＞f(0)=0 x∈(0，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)＞f(0)=0 ∴当x＞0时，ex+e-x＞x2+2且当x＜0时，ex+e-x＞x2+2 ∴当x≠0时，ex+e-x＞x2+2
解析 利用单调性证明不等式
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