证明:当x≠0时,ex+e-xx2+2

admin2021-12-23  25

问题 证明:当x≠0时,ex+e-xx2+2

选项

答案证明:要证当x≠0时,ex+e-x>x2+2 只要证当x>0时,ex+e-x>x2+2且当x<0时,ex+e-x>x2+2 令f(x)=ex+e-x-x2-2 ∴f′(x)=ex-e-x-2x ∴f″(x)=ex+e-x-2 ∴f″(x)=ex-e-x 令f″(x)=0,则 ∴x∈(-∞,0)时,ex∈(0,1),ex<e-x,f″(x)<0 x∈(0,+∞)时,ex∈(1,+∞),ex>e-x,f″(x)>0 ∴x∈(-∞,0),f″(x)单调递减,x ∈(0,+∞),f″(x)单调递增 ∴f″(x)≥f″(0)=0 ∴f′(x)在R上单调递增 令f′(x)=0,则x=0 ∴z∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,f(x)>f(0)=0 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,f(x)>f(0)=0 ∴当x>0时,ex+e-x>x2+2且当x<0时,ex+e-x>x2+2 ∴当x≠0时,ex+e-x>x2+2

解析 利用单调性证明不等式
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