设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,g(x)≠0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0。

admin2015-07-15  29

问题 设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,g(x)≠0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ使得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0。

选项

答案证明:设F(x)=f(x)g2(x),由题设条件知,F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,并且F(a)=F(b)=0,所以由罗尔中值定理得,在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F’(ξ)=0, 即f’(ξ)g2(ξ)+2f(ξ)g(ξ)g’(ξ)=0, 由于g(ξ)≠0,得f’(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g’(ξ)=0。

解析
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