[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是( )．

admin2021-01-25 91

问题 [2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y₁(x)，y₂(x)，c为任意常数，则该方程的通解是( )．

选项 A、c[y₁(x)一y₂(x)]
B、y₁(x)+c[y₁(x)-y₂(x)]
C、c[y₁(x)+y₂(x)]
D、y₁(x)+c[y₁(x)+y₂(x)]

答案B

解析因y₁(x)，y₂(x)是y’+p(x)y=q(x)的两个不同的解，y₁(x)－y₂(x)是对应齐次方程y’+p(x)y=0的非零解，所以由命题1．6．1．2(2)知，c[y₁(x)+y₂(x)]是对应齐次方程y+p(x)y=0的通解．又y’+p(x)y=q(x)的通解等于对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解(见命题1．6．1．2(1))，故y₁(x)+c[y₁(x)－y₂(x)]是该非齐次方程的通解．仅(B)入选．
(注：命题1．6．1．1 (1)若y₁，y₂，…，y_s均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k₁+k₂+…+k_s=1时，k₁y₁+k₂y₂+…+k_sy_s为y’+p(x)y=q(x)的解．
(2)若y₁，y₂，…，y_s均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k₁+k₂+…+k_s=0时，k₁y₁+k₂y₂+…+k_sy_s为y’+p(x)y=0的解．
特别地，若y₁，y₂为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y₂－y₁为y’+p(x)y=0的解．)

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考研数学三

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