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  3. [2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是( )．

[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是( )．

admin2021-01-25  64
问题 [2006年]  设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，c为任意常数，则该方程的通解是(    )．
选项 A、c[y1(x)一y2(x)]
B、y1(x)+c[y1(x)-y2(x)]
C、c[y1(x)+y2(x)]
D、y1(x)+c[y1(x)+y2(x)]
答案B
解析 因y1(x)，y2(x)是y’+p(x)y=q(x)的两个不同的解，y1(x)－y2(x)是对应齐次方程y’+p(x)y=0的非零解，所以由命题1．6．1．2(2)知，c[y1(x)+y2(x)]是对应齐次方程y+p(x)y=0的通解．又y’+p(x)y=q(x)的通解等于对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解(见命题1．6．1．2(1))，故y1(x)+c[y1(x)－y2(x)]是该非齐次方程的通解．仅(B)入选．
    (注：命题1．6．1．1  (1)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=1时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=q(x)的解．
    (2)若y1，y2，…，ys均为y’+p(x)y=q(x)的解，则当k1+k2+…+ks=0时，k1y1+k2y2+…+ksys为y’+p(x)y=0的解．
    特别地，若y1，y2为y’+p(x)y=q(x)的两个解，则y2－y1为y’+p(x)y=0的解．)
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考研数学三

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