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[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),c为任意常数,则该方程的通解是( ).
[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),c为任意常数,则该方程的通解是( ).
admin
2021-01-25
57
问题
[2006年] 设非齐次线性微分方程y’+p(x)y=q(x)有两个不同的解y
1
(x),y
2
(x),c为任意常数,则该方程的通解是( ).
选项
A、c[y
1
(x)一y
2
(x)]
B、y
1
(x)+c[y
1
(x)-y
2
(x)]
C、c[y
1
(x)+y
2
(x)]
D、y
1
(x)+c[y
1
(x)+y
2
(x)]
答案
B
解析
因y
1
(x),y
2
(x)是y’+p(x)y=q(x)的两个不同的解,y
1
(x)-y
2
(x)是对应齐次方程y’+p(x)y=0的非零解,所以由命题1.6.1.2(2)知,c[y
1
(x)+y
2
(x)]是对应齐次方程y+p(x)y=0的通解.又y’+p(x)y=q(x)的通解等于对应齐次方程的通解加上原方程的一个特解(见命题1.6.1.2(1)),故y
1
(x)+c[y
1
(x)-y
2
(x)]是该非齐次方程的通解.仅(B)入选.
(注:命题1.6.1.1 (1)若y
1
,y
2
,…,y
s
均为y’+p(x)y=q(x)的解,则当k
1
+k
2
+…+k
s
=1时,k
1
y
1
+k
2
y
2
+…+k
s
y
s
为y’+p(x)y=q(x)的解.
(2)若y
1
,y
2
,…,y
s
均为y’+p(x)y=q(x)的解,则当k
1
+k
2
+…+k
s
=0时,k
1
y
1
+k
2
y
2
+…+k
s
y
s
为y’+p(x)y=0的解.
特别地,若y
1
,y
2
为y’+p(x)y=q(x)的两个解,则y
2
-y
1
为y’+p(x)y=0的解.)
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考研数学三
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