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(2005年)设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0。 证明:对任何a∈[0,1],有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。
(2005年)设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0。 证明:对任何a∈[0,1],有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。
admin
2021-01-25
53
问题
(2005年)设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0。
证明:对任何a∈[0,1],有∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。
选项
答案
设F(x)=∫
0
x
g(t)f’(t)dt+∫
0
1
f(t)g’(t)dt一f(x)g(1),则F(x)在[0,1]上的导数连续,并且 F’(x)=g(x)f’(x)一f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]。 由于x∈[0,1]时,g’(x)≥0,因此g(x)一g(1)≤0,又f’(x)≥0,故F’(x)≤0,即F(x)在[0,1]上单调递减,注意到 F(1)=∫
0
1
g(t)f’(t)dt+∫
0
1
f(t)g’(t)dt—f(1)g(1),=f(t)g(t)|
0
1
一f(1)g(1)=0, 故F(1)=0。因此x∈[0,1]时,F(x)≥0,对任何a∈[0,1],都有 ∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。
解析
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考研数学三
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