2. 考研
  3. (2005年)设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。 证明：对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。

(2005年)设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。 证明：对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。

admin2021-01-25  21
问题 (2005年)设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。
    证明：对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。
选项
答案设F(x)=∫0xg(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt一f(x)g(1)，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且 F’(x)=g(x)f’(x)一f’(x)g(1)=f’(x)[g(x)一g(1)]。 由于x∈[0，1]时，g’(x)≥0，因此g(x)一g(1)≤0，又f’(x)≥0，故F’(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减，注意到 F(1)=∫01g(t)f’(t)dt+∫01f(t)g’(t)dt—f(1)g(1)，=f(t)g(t)|01一f(1)g(1)=0， 故F(1)=0。因此x∈[0，1]时，F(x)≥0，对任何a∈[0，1]，都有 ∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)。
解析
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考研数学三

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