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  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=9．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=9．

admin2017-12-18  59
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且f(1)=1，f(2)=6．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f"’(ξ)=9．
选项
答案由[*]得f(0)=0，f’(0)=2． 作多项式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P’(0)=2，P(1)=1，P(2)=6， [*] 令φ(x)=f(x)一[*]，则φ(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且φ(0)= φ(1)=φ(2)=0，因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都满足罗尔定理的条件，则存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0． 又φ’(0)=0，由罗尔定理，存在η1∈(0，ξ1)，η2∈(ξ1，ξ2)，使得φ"(η1)=φ"(η2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(η1，η2)[*](0，2)，使得φ"’(ξ)=0．而φ"’(x)=f"’(x)一9，所以f"’(ξ)=9．
解析
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考研数学一

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