2. 考研
  3. 设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。 (Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积； (Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞-，

设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。 (Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积； (Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞-，

admin2017-01-14  40
问题 设y=f(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数。
(Ⅰ)试证存在x0∈(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积等于在区间[x0，1]上以y=f(x)为曲边的梯形面积；
(Ⅱ)又设f(x)在区间(0，1)内可导，且f’(x)＞-，证明(Ⅰ)中的x0是唯一的。
选项
答案(Ⅰ)本题可转化为证明x0f(x0)=[*]，则φ(x)在闭区间[0，1]上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理可知，存在x0∈(0，1)，使得φ’(x0)=0，即 [*] (Ⅱ)令F(x)=xf(x)-[*]有 F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0， 即F(x)在(0，1)内是严格单调递增的，因此(Ⅰ)中的点x0是唯一的。
解析
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考研数学一

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