2. 考研
  3. 设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个： (Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导，且=1； (Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导，f’(0)=0，且(一1)f"(x)一xf’(x)=ex一1， 则下列说法正确的是

设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个： (Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导，且=1； (Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导，f’(0)=0，且(一1)f"(x)一xf’(x)=ex一1， 则下列说法正确的是

admin2017-10-23  104
问题 设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：
(Ⅰ)f(x)在x=0处三阶可导，且=1；
(Ⅱ)f(x)在x=0邻域二阶可导，f’(0)=0，且(一1)f"(x)一xf’(x)=ex一1，
则下列说法正确的是
选项 A、f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．
B、f(0)是f(x)的极小值．
C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．
D、f(0)是f(x)的极大值．
答案B
解析 (Ⅰ)由条件=f’(0)=0．
用洛必达法则得．
因f"(x)=f"(0)，若f"(0)≠0，则J=∞，与J=1矛盾，故必有f"(0)=0．再由f"’(0)的定义知
    J=f"’(0)=1，即f"’(0)=2．
    因此，(0，f(0))是拐点．选(C)．
    (Ⅱ)已知f’(0)=0，现考察f"(0)．由方程得
   
利用当x→0时的等价无穷小关系／，并求极限即得
   
又f"(x)在x=0连续，故f"(0)=3＞0．因此f(0)是f(x)的极小值．应选(B)．
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考研数学三

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