2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f’"(ξ)=3．

设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f’"(ξ)=3．

admin2015-07-22  56
问题 设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f’"(ξ)=3．
选项
答案f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+[*] (x0)(x—x0)2+[*] (η)(x—x0)3．取x0=0，x=1代入， f(1)=f(0)+[*]f"(0)(1—0)2+[*]f"(η1)(1—0)3，η1∈(0，1)． ① 取x0=0，x=-1代入， [*] 因为f"(x)在[一1，1]上连续，则存在m和M，使得[*]∈[一1，1]，有m≤f"(x)≤M， m≤f"’(η1)≤M，m≤f"’(η2)≤[*] [f"’(η1)+f"’(η2)]≤M， ④ ③代入④式，有m≤3≤M，由介值定理，[*]∈E-1，1]，使得f"’(ξ)=3．
解析
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考研数学三

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