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已知R3的两组基 α1=(1,0,一1)T,α2=(2,1,1)T, α3=(1,1,1)T与β1=(0,1,1)T, β2=(一1,1,0)T,β3=(1,2,1)T. (Ⅰ)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵; (Ⅱ)求γ=(9,
已知R3的两组基 α1=(1,0,一1)T,α2=(2,1,1)T, α3=(1,1,1)T与β1=(0,1,1)T, β2=(一1,1,0)T,β3=(1,2,1)T. (Ⅰ)求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵; (Ⅱ)求γ=(9,
admin
2020-03-05
77
问题
已知R
3
的两组基
α
1
=(1,0,一1)
T
,α
2
=(2,1,1)
T
, α
3
=(1,1,1)
T
与β
1
=(0,1,1)
T
, β
2
=(一1,1,0)
T
,β
3
=(1,2,1)
T
.
(Ⅰ)求由基α
1
,α
2
,α
3
到基β
1
,β
2
,β
3
的过渡矩阵;
(Ⅱ)求γ=(9,6,5)
T
在这两组基下的坐标;
(Ⅲ)求向量δ,使它在这两组基下有相同的坐标.
选项
答案
(Ⅰ)设从基α
1
,α
2
,α
3
到基β
1
,β
2
,β
3
的过渡矩阵是C,则(β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)C, 故 C=(α
1
,α
2
,α
3
)
-1
(β
1
,β
2
,β
3
)=[*] (Ⅱ)设γ在基β
1
,β
2
,β
3
下坐标是(y
1
,y
2
,y
3
)
T
,即y
1
β
1
+y
2
β
2
+y
3
β
3
=γ,亦即 [*] 设γ在基α
1
,α
2
,α
3
下坐标是(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,按坐标变换公式X=CY,有 [*] 可见γ在这两组基下的坐标分别是(1,2,4)
T
和(0,一4,5)
T
. (Ⅲ)设δ=x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
,即 x
1
(α
1
一β
1
)+x
2
(α
2
一β
2
)+x
3
(α
3
一β
3
)=0. 亦即 [*] 所以,仅零向量在这两组基下有相同的坐标.
解析
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0
考研数学一
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