2. 考研
  3. 已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系．证明： (Ⅰ)η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n－r+1个线性无关解； (Ⅱ)方程组Ax=b的任一解均可由η，η+ξ1，…，η+ξn－r线性表出．

已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系．证明： (Ⅰ)η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n－r+1个线性无关解； (Ⅱ)方程组Ax=b的任一解均可由η，η+ξ1，…，η+ξn－r线性表出．

admin2016-07-22  52
问题 已知η是Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系．证明：
(Ⅰ)η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n－r+1个线性无关解；
(Ⅱ)方程组Ax=b的任一解均可由η，η+ξ1，…，η+ξn－r线性表出．
选项
答案(Ⅰ)A(η+ξi)=Aη=b，i=0，1，2，…，n－r(其中ξ0=0)， 故η+ξi，i=0，1，2，…，n－r均是Ax=b的解向量． 设有数k0，k1，k2，…，kn－r，使得 k0η+k1(η+ξ1)+k2(η+ξ2)+…+kn－r(η+ξn－r)=0． (*) (*)式左乘A，得 k0Aη+k1A(η+ξ1)+k2A(η+ξ2)+…+kn－rA(η+ξn－r)=0， 整理得 (k0+k1+…+kn－r)b=0，其中b≠0． 故 k0+k1+…+kn－r=0， (**) 代入(*)式，得 k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r=0． 因ξ1，ξ2，…，ξn－r是对应齐次方程组的基础解系，线性无关，得ki=0，i=1，2，…，n－r．代入(**)式， 得k0=0．从而有η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r是Ax=b的n－r+1个线性无关解向量． (Ⅱ)设η*为Ax=b的任一解，则 η*=η+λ1ξ1+λ2ξ2+…+λn－rξn－r， 且 η*=η+λ1ξ1+λ2ξ2+…+λn－rξn－r =η+λ1(ξ1+η－η)+λ2(ξ2+η－η)+…+λn－r(ξn－r+η－η) =(1－λ1－λ2－…－λn－r)η+λ1(ξ1+η)+λ2(ξ2+η)+…+λn－r(ξn－r+η)， 故任一个Ax=b的解η*，均可由向量组η，η+ξ1，η+ξ2，…，η+ξn－r线性表出．
解析
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考研数学二

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