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已知η是Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系.证明: (Ⅰ)η,η+ξ1,η+ξ2,…,η+ξn-r是Ax=b的n-r+1个线性无关解; (Ⅱ)方程组Ax=b的任一解均可由η,η+ξ1,…,η+ξn-r线性表出.
已知η是Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2,…,ξn-r是对应齐次方程组Ax=0的基础解系.证明: (Ⅰ)η,η+ξ1,η+ξ2,…,η+ξn-r是Ax=b的n-r+1个线性无关解; (Ⅱ)方程组Ax=b的任一解均可由η,η+ξ1,…,η+ξn-r线性表出.
admin
2016-07-22
60
问题
已知η是Ax=b的一个特解,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
是对应齐次方程组Ax=0的基础解系.证明:
(Ⅰ)η,η+ξ
1
,η+ξ
2
,…,η+ξ
n-r
是Ax=b的n-r+1个线性无关解;
(Ⅱ)方程组Ax=b的任一解均可由η,η+ξ
1
,…,η+ξ
n-r
线性表出.
选项
答案
(Ⅰ)A(η+ξ
i
)=Aη=b,i=0,1,2,…,n-r(其中ξ
0
=0), 故η+ξ
i
,i=0,1,2,…,n-r均是Ax=b的解向量. 设有数k
0
,k
1
,k
2
,…,k
n-r
,使得 k
0
η+k
1
(η+ξ
1
)+k
2
(η+ξ
2
)+…+k
n-r
(η+ξ
n-r
)=0. (*) (*)式左乘A,得 k
0
Aη+k
1
A(η+ξ
1
)+k
2
A(η+ξ
2
)+…+k
n-r
A(η+ξ
n-r
)=0, 整理得 (k
0
+k
1
+…+k
n-r
)b=0,其中b≠0. 故 k
0
+k
1
+…+k
n-r
=0, (**) 代入(*)式,得 k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-r
ξ
n-r
=0. 因ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n-r
是对应齐次方程组的基础解系,线性无关,得k
i
=0,i=1,2,…,n-r.代入(**)式, 得k
0
=0.从而有η,η+ξ
1
,η+ξ
2
,…,η+ξ
n-r
是Ax=b的n-r+1个线性无关解向量. (Ⅱ)设η
*
为Ax=b的任一解,则 η
*
=η+λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+…+λ
n-r
ξ
n-r
, 且 η
*
=η+λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+…+λ
n-r
ξ
n-r
=η+λ
1
(ξ
1
+η-η)+λ
2
(ξ
2
+η-η)+…+λ
n-r
(ξ
n-r
+η-η) =(1-λ
1
-λ
2
-…-λ
n-r
)η+λ
1
(ξ
1
+η)+λ
2
(ξ
2
+η)+…+λ
n-r
(ξ
n-r
+η), 故任一个Ax=b的解η
*
,均可由向量组η,η+ξ
1
,η+ξ
2
,…,η+ξ
n-r
线性表出.
解析
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0
考研数学二
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