设f(x)连续,且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx2,f(1)=1,求∫01f(x)dx.

admin2016-10-24  33

问题 设f(x)连续,且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx2,f(1)=1,求∫01f(x)dx.

选项

答案[*]

解析 由∫0xtf(2x一t)dt2xx(2x一u)f(u)(一du)
=∫x2x(2x一u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du一∫x2xuf(u)du
得2x∫x2xf(u)du一∫x2xuf(u)du=arctanx2,等式两边对x求导得
2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)一f(x)]一4xf(2x)+xf(x)=,整理得
2∫x2xf(u)du一xf(x)=
取x=1得2∫12f(u)du一f(1)=,故∫12f(x)dx=
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