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  3. 设f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫01f(x)dx．

设f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫01f(x)dx．

admin2016-10-24  46
问题 设f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫01f(x)dx．
选项
答案[*]
解析 由∫0xtf(2x一t)dt∫2xx(2x一u)f(u)(一du)
=∫x2x(2x一u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du一∫x2xuf(u)du
得2x∫x2xf(u)du一∫x2xuf(u)du=arctanx2，等式两边对x求导得
2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)一f(x)]一4xf(2x)+xf(x)=，整理得
2∫x2xf(u)du一xf(x)=，
取x=1得2∫12f(u)du一f(1)=，故∫12f(x)dx=．
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考研数学三

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