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  3. 试利用区间套定理证明确界原理．

试利用区间套定理证明确界原理．

admin2022-11-23  45
问题 试利用区间套定理证明确界原理．
选项
答案设S为一非空有上界M的数集．因其非空，故有a0∈S．不妨设a0不是S的上界(否则a0为S的最大元，即为S的上确界)，记[a1，b1]=[a0，M]． 将[a1，b1]二等分，其中必有一子区间，其右端点为S的上界，但左端点不是S的上界，记之为[a2，b2]．再将[a2，b2]二等分．其中必有一子区间，其右端点是S的上界，而左端点不是S的上界，记之为[a3，b3]．依此类推，得到一区间套{[an，bn]}．其中bn恒为S的上界，an恒非S的上界，且 bn-an=[*](n→∞) 由区间套定理，[*]ξ∈[an，bn](n=1,2，…)． 现证ξ即为supS： (1)[*]x∈S，有x≤bn，令n→∞．得x≤ξ,即ξ为S的上界． (2)[*]ε∈＞0，由[*]；由于an不是S的上界，因此ξ-ε更不是S的上界．所以ξ是S的最小上界，即supS=ξ．同理可证有下界的非空数集必有下确界．
解析
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考研数学一

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