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已知函数f(x)=√x,g(x)=alnx,a∈R. 设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
已知函数f(x)=√x,g(x)=alnx,a∈R. 设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
admin
2019-06-01
3
问题
已知函数f(x)=√x,g(x)=alnx,a∈R.
设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
选项
答案
由条件知h(x)=√x-alnx(x>0).∴h'(x)=[*], (i)当a>0时,令h'(x)=0,解得x=4a
2
,∴当0<x<4a
2
时,h'(x)<0,h(x)在(0,4a
2
)上递减;当x>4a
2
时,h'(x)>0,h(x)在(4a
2
,+∞)上递增.∴x=4a
2
是h(x)在(0,+∞)上的唯-极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点.∴最小值φ(a)=h(4a
2
)=2a-aln4a
2
=2a(1-ln2a). (il)当a≤0时,h'(x)=[*]>0,h(x)在(0,+∞)上递增,无最小值. 综上故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)=2a(1-ln2a)(a>0).
解析
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