已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0,α=(1,2,一1)T满足Aα=2α. ① 求xTAx的表达式. ② 求作正交变换x=Qy,把xTAx化为标准二次型.

admin2020-06-11  47

问题 已知三元二次型xTAx的平方项系数都为0,α=(1,2,一1)T满足Aα=2α.
①  求xTAx的表达式.
②  求作正交变换x=Qy,把xTAx化为标准二次型.

选项

答案[*] 得2a一b=2,a一c=4,b+2c=一2,解出a=b=2,c=一2.此二次型为4x1x2+4x1x3—4x2x3.② 先求A特征值[*]于是A的特征值就是2,2,一4.再求单位正交特征向量组.属于2的特征向量是(A一2E)x=0的非零解. [*] 得(A一2E)x=0的同解方程组:x1一x2一x3=0.显然β1=(1,1,0)T是一个解,设第二个解为β2=(1,一1,c)T(这样的设定保证了两个解是正交的!),代入方程得c=2,得到属于特征值2的两个正交的特征向量β1,β2.再把它们单位化:记[*]172属于一4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解.求出β3=(1,一1,~1)T是一个解,单位化: 记[*]则η1,η2,η3是A的单位正交特征向量组,特征值依次为2,2,一4.作正交矩阵Q=(η1,η2,η3),则Q一1AQ是对角矩阵,对角线上的元素为2,2,一4.作正交变换X=Qy,它把f(x1,x2,x3)化为2y12+2y22一4y32

解析
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