2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1－α2，Aα3=α1－α2+4α3． (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q－1叫AQ为对角矩阵．

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1－α2，Aα3=α1－α2+4α3． (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q－1叫AQ为对角矩阵．

admin2020-02-27  83
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1－α2，Aα3=α1－α2+4α3．
    (I)求矩阵A的特征值；
    (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q－1叫AQ为对角矩阵．
选项
答案(I)令P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P可逆． 因为Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1一α2，Aα3=α1－α2+4α3， 所以(Aα1，Aα2，Aα3)－(α1+3α2，5α1－α2，α1－α2+4α3)， [*] 得A的特征值为λ1=－4，λ2=λ3=4． (Ⅱ)因为A～B，所以B的特征值为λ1=－4，λ2=λ3=4． [*] 因为P－1AP=B，所以 [*]
解析
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考研数学三

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