2. 考研
  3. 设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2019-01-05  54
问题 设向量α1，α2，...，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．   
选项
答案(定义法) 若有一组数k,k1，k2，...，kt，使得 kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…kt(β+αt)=0， ① 则因α1，α2，...，αt是Ax=0的解，知Aαi=0(i=1，2，…，t)，用A左乘上式的两边，有 (k+k1+k2+…+kt)Aβ=0． 由于Aβ≠0，故k+k1+k2+…+kt=0． ② 对①重新分组为(k+k1+…+kt)β+k1α1+k2β2+…+ktαt=0． ③ 把②代入③，得k1α1+k2α2+…+ktαt=0． 由于α1，α2，...，αt是基础解系，它们线性无关，故必有k1=0，k2=0，…，kt=0． 代人②式得：k=0． 因此，向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
解析 (用秩)  经初等变换向量组的秩不变．把第1列的-1倍分别加至其余各列，有
(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)→(β，α1，α2，...，αt)．
因此    r(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)=r(β,α1，α2，...，αt)．
由于α1，α2，...，αt是基础解系，它们是线性无关的，秩r(α1，α2，...，αt)=t，又β必不能由α1，α2，...，αt线性表出(否则Aft=0)，故r(α1，α2，...，αt,β)=t+1．
所以    r(β，β+α1，β+α2，…，β+αt)=t+1．
即向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
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考研数学三

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