设u＝u(χ，y)在全平面有连续偏导数， (Ⅰ)作极坐标变换χ＝rcosθ，y＝rsinθ，求的关系式； (Ⅱ)若＝0 ((χ，y))，求证：u(χ，y)＝u(0，0)为常数．

admin2017-11-21 51

问题设u＝u(χ，y)在全平面有连续偏导数，
(Ⅰ)作极坐标变换χ＝rcosθ，y＝rsinθ，求

的关系式；
(Ⅱ)若

＝0 (

(χ，y))，求证：u(χ，y)＝u(0，0)为常数．

选项

答案(Ⅰ)u＝u(χ，y)＝u(rcosθ，rsinθ)，由复合函数求导法 [*] (Ⅱ)由题(Ⅰ)，[*]＝0(r＞0)．又u(rcosθ，rsinθ)对r在[0，＋∞)上连续[*]u作为r，θ的函数，当θ[*]固定时，u作为r的函数在[0，＋∞)为常数[*](χ，y)，有 u(χ，y)＝u(rcosθ，rsinθ)＝u(rcosθ，rsinθ)｜_r＝0＝u(0，0)．

解析

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