设X1，X2分别为A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量．证明：X1＋X2不是A的特征向量．

admin2023-02-21 17

问题设X₁，X₂分别为A的属于不同特征值λ₁，λ₂的特征向量．证明：X₁＋X₂不是A的特征向量．

选项

答案反证法不妨设X₁＋X₂是A的属于特征值λ的特征向量，则有A(X₁＋X₂)＝λ(X₁＋X₂)，因为AX₁＝λ₁X₁，AX₂＝λ₂X₂，所以(λ₁－λ)X＋(λ₂－λ)X₂＝0，而X₁，X₂线性无关，于是λ₁＝λ₂＝λ，与已知矛盾，故X₁＋X₂不是A的特征向量．

解析

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