设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。（Ⅰ）计算PTDP，其中P= （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B—CTA—1C是否为正定矩阵，并证明结论。

admin2017-01-21 45

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。
（Ⅰ）计算P^TDP，其中P=

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B—C^TA^—1C是否为正定矩阵，并证明结论。

选项

答案[*] （Ⅱ）由（Ⅰ）中结果知矩阵D与矩阵M=[*]合同，又因D是正定矩阵，所以矩阵M为正定矩阵，从而可知M是对称矩阵，那么B—C^TA ^—1C是对称矩阵。对m维零向量x=（0，0，…，0）^T和任意n维非零向量y=（y₁，y₂，y_n）^T，都有（x^T，y^T）[*] 可得 y^T（B—C^TA^—1C）y＞0，依定义，y^T（B—C^TA^—1C）y为正定二次型，所以矩阵B—C^TA ^—1C为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。（Ⅰ）计算PTDP，其中P= （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B—CTA—1C是否为正定矩阵，并证明结论。

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