2. 考研
  3. 设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。 （Ⅰ）计算PTDP，其中P= （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B—CTA—1C是否为正定矩阵，并证明结论。

设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。 （Ⅰ）计算PTDP，其中P= （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B—CTA—1C是否为正定矩阵，并证明结论。

admin2017-01-21  65
问题 设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。
（Ⅰ）计算PTDP，其中P=
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果判断矩阵B—CTA—1C是否为正定矩阵，并证明结论。
选项
答案[*] （Ⅱ）由（Ⅰ）中结果知矩阵D与矩阵M=[*]合同，又因D是正定矩阵，所以 矩阵M为正定矩阵，从而可知M是对称矩阵，那么B—CTA —1C是对称矩阵。 对m维零向量x=（0，0，…，0）T和任意n维非零向量y=（y1，y2，yn）T，都有 （xT，yT）[*] 可得 yT（B—CTA—1C）y＞0， 依定义，yT（B—CTA—1C）y为正定二次型，所以矩阵B—CTA —1C为正定矩阵。
解析
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考研数学三

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