设在区间[e，e2]上，数p，q满足条件px+q≥lnx，求使得积分取得最小值时p，q的值．

admin2018-08-22 66

问题设在区间[e，e²]上，数p，q满足条件px+q≥lnx，求使得积分

取得最小值时p，q的值．

选项

答案方法一设直线y=px+q与曲线y=lnx相切于点(t，lnt)，则有 [*] 于是 I(p,q)=I(p)=[*](px-lnp-1-lnx)dx=[*]p(e⁴-e²)-(lnp+1)(e²-e)-e². 令[*]得唯一驻点[*]所以[*]为极小值点，即最小值点．此时[*] 方法二设直线y=px+q与曲线y=lnx相切于点(t，lnt)，则有 [*] 于是 [*] 令[*]得唯一驻点[*]所以[*]为极小值点，即最小值点．此时[*]

解析要使

最小，直线y=px+q应与曲线y=lnx相切，从而可得到p，q的关系，消去一个参数．通过积分求出I(p)后再用微分方法求I(p)的极值点P₀，然后再求出q的值．或将p，q都表示成另一个参数t的函数形式，求出I(t)的极值点后，再求出p，q的值．

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考研数学二

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