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设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=0,f’(x)>0,f"(x)>0,则对于,其大小顺序排列正确的是( )。
设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=0,f’(x)>0,f"(x)>0,则对于,其大小顺序排列正确的是( )。
admin
2022-03-23
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问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=0,f’(x)>0,f"(x)>0,则对于
,其大小顺序排列正确的是( )。
选项
A、N<M<P
B、P<M<N
C、M<P<N
D、M<N<P
答案
D
解析
f(x)=f(x)-f(0)=f’(ξ
2
)·x,0<ξ
2
<x<
,
ξ
1
,ξ
2
的取值如图a所示,则
f(x+
)-f(
)-f(x)=f’(ξ
1
)·x-f’(ξ
2
)·x
=[f’(ξ
1
)-f’(ξ
2
)]x
由f"(x)>0,可知f’(x)单调递增,即f’(ξ
1
)>f’(ξ
2
),于是上式大于0.由积分保号性知,N-M>0,即N>M,又由f"(x)>0,知f(x)为凹曲线,如图b所示。N表示图中阴影部分面积,即曲边三角形ABC的面积,P表示三角形ABC的面积,显然N<P(其严格证明见注)。
综上,M<N<P,选D。
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考研数学三
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