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  3. 设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)=0,f’(x)＞0，f"(x)＞0，则对于,其大小顺序排列正确的是( )。

设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)=0,f’(x)＞0，f"(x)＞0，则对于,其大小顺序排列正确的是( )。

admin2022-03-23  101
问题 设f(x)在[0,1]上二阶可导，f(0)=0,f’(x)＞0，f"(x)＞0，则对于,其大小顺序排列正确的是(          )。
选项 A、N＜M＜P
B、P＜M＜N
C、M＜P＜N
D、M＜N＜P
答案D
解析
f(x)=f(x)－f(0)=f’(ξ2)·x,0＜ξ2＜x＜,
ξ1,ξ2的取值如图a所示，则
f(x+)－f()－f(x)=f’(ξ1)·x－f’(ξ2)·x
=[f’(ξ1)－f’(ξ2)]x
由f"(x)＞0，可知f’(x)单调递增，即f’(ξ1)＞f’(ξ2),于是上式大于0.由积分保号性知，N－M＞0，即N＞M，又由f"(x)＞0，知f(x)为凹曲线，如图b所示。N表示图中阴影部分面积，即曲边三角形ABC的面积，P表示三角形ABC的面积，显然N＜P(其严格证明见注）。
综上，M＜N＜P,选D。
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考研数学三

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