设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=0,f’(x)>0,f"(x)>0,则对于,其大小顺序排列正确的是( )。

admin2022-03-23  40

问题 设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=0,f’(x)>0,f"(x)>0,则对于,其大小顺序排列正确的是(          )。

选项 A、N<M<P
B、P<M<N
C、M<P<N
D、M<N<P

答案D

解析
f(x)=f(x)-f(0)=f’(ξ2)·x,0<ξ2<x<,
ξ12的取值如图a所示,则
f(x+)-f()-f(x)=f’(ξ1)·x-f’(ξ2)·x
=[f’(ξ1)-f’(ξ2)]x
由f"(x)>0,可知f’(x)单调递增,即f’(ξ1)>f’(ξ2),于是上式大于0.由积分保号性知,N-M>0,即N>M,又由f"(x)>0,知f(x)为凹曲线,如图b所示。N表示图中阴影部分面积,即曲边三角形ABC的面积,P表示三角形ABC的面积,显然N<P(其严格证明见注)。
综上,M<N<P,选D。
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