设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1一α2，Aα3=α1一α2+4α3．求可逆Q，使得Q-1AQ为对角阵．

admin2014-12-17 49

问题设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是三维线性无关的向量组，且Aα₁=α₁+3α₂，Aα₂=5α₁一α₂，Aα₃=α₁一α₂+4α₃．
求可逆Q，使得Q^-1AQ为对角阵．

选项

答案因为A～B，所以B的特征值为λ₁=-4，λ₂=λ₃=4．当λ₁=一4时，由(一4E—B)X=0得ξ₁=[*]当λ₂=λ₃=4时，由(4E—B)X=0得ξ₂=[*]令P₁=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=[*]因为P^-1AP=B，所以P₁^-1p^-1APP₁=P₁^-1BP₁=[*]或(PP₁)^-1A(PP₁)=[*]取Q=PP₁=(一α₁+α₂，5α₁+3α₂，α₁+3α₃)，则Q^-1AQ=[*]

解析

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考研数学三

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