2. 考研
  3. 设矩阵A=相似于对角矩阵． (1)求a的值； (2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

设矩阵A=相似于对角矩阵． (1)求a的值； (2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

admin2017-11-13  71
问题 设矩阵A=相似于对角矩阵．
(1)求a的值；
(2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．
选项
答案(1)A的特征值为6，6，一2，故由A可相似对角化知矩阵6E—A=[*]的秩为1，→a=0． (2)f=xTAx=(xTAx)T=xTATx=[*]=B，计算可得B的特征值为λ1=6，λ2=一3，λ3=7，对应的特征向量分别可取为ξ1=(0，0，1)T，ξ2=(1，一1，0)T，ξ3=(1，1，0)T，故有正交矩阵 [*] 使得P-1／BP=PTBP=diag(6，一3，7)，所以，在正交变换(x1，x2，x3)T=P(y1，y2，y3)T下，可化f成标准形f=6y12一3y22+7y32．
解析
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考研数学一

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