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设矩阵A=相似于对角矩阵. (1)求a的值; (2)求一个正交变换,将二次型f(x1,x2,x3)=xTAx化为标准形,其中x=(x1,x2,x3)T.
设矩阵A=相似于对角矩阵. (1)求a的值; (2)求一个正交变换,将二次型f(x1,x2,x3)=xTAx化为标准形,其中x=(x1,x2,x3)T.
admin
2017-11-13
97
问题
设矩阵A=
相似于对角矩阵.
(1)求a的值;
(2)求一个正交变换,将二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax化为标准形,其中x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
.
选项
答案
(1)A的特征值为6,6,一2,故由A可相似对角化知矩阵6E—A=[*]的秩为1,→a=0. (2)f=x
T
Ax=(x
T
Ax)
T
=x
T
A
T
x=[*]=B,计算可得B的特征值为λ
1
=6,λ
2
=一3,λ
3
=7,对应的特征向量分别可取为ξ
1
=(0,0,1)
T
,ξ
2
=(1,一1,0)
T
,ξ
3
=(1,1,0)
T
,故有正交矩阵 [*] 使得P
-1
/BP=P
T
BP=diag(6,一3,7),所以,在正交变换(x
1
,x
2
,x
3
)
T
=P(y
1
,y
2
,y
3
)
T
下,可化f成标准形f=6y
1
2
一3y
2
2
+7y
3
2
.
解析
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考研数学一
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