设函数y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,则y(x)的极大值与极小值之差为

admin2019-03-11  30

问题 设函数y(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图形在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,则y(x)的极大值与极小值之差为

选项 A、1.
B、2.
C、3.
D、4.

答案D

解析 先确定三次函数y(x)表达式中的常数a,b,c.
    由y’(x)=3x2+6ax+3b及已知x=2是极值点,可得
    y’(2)=3(4+4a+b)=0.    ①
又由在x=1处的斜率为y’(1)=一3,得3(1+2a+b)=一3.    ②
由①、②可得a=一1,b=0.
    故三次函数y(x)=x3一3x2+c.
    由y’(x)=3x(x一2)得函数y(x)有驻点x=0与x=2.又由y"(x)=6x一6知y"(0)<0与y"(2)>0.故y(x)的极大值为y(0)=c,极小值为y(2)=一4+c.
    于是y(0)~y(2)=4.故应选(D).
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