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设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy为某可微函数u(x,y)的全微分.求f(x)及u(x,y).
设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy为某可微函数u(x,y)的全微分.求f(x)及u(x,y).
admin
2019-01-24
68
问题
设f(x)具有一阶连续导数,f(0)=0,且表达式[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x
2
y]dy为某可微函数u(x,y)的全微分.求f(x)及u(x,y).
选项
答案
由题设知存在可微函数u(x,y),使 du(x,y)=[xy(1+y)-f(x)y]dx+Ef(x)+x
2
y]dy, 于是知[*] 又因f(x)具有一阶连续导数,故[*]连续且相等,于是有 [*] x+2xy-f(x)=f'(x)+2xy, 即 f'(x)+f(x)=x, 此为一阶线性微分方程,结合条件f(0)=0解得f(x)=x-1+e
-x
. 所以 du(x,y)=[xy(1+y)-y(x-1+e
-x
)]dx+(x-1+e
-x
+x
2
y)dy =(xy
2
+y-ye
-x
)dx+(x-1+e
-x
+x
2
y)dy. 由du(x,y)的表达式求u(x,y)有多种方法. 法一 凑原函数法.此方法有技巧性,要求读者对用全微分形式不变性求微分相当熟练. du(x,y)=(xy
2
+y-ye
-x
…)dx+(x-1+e
-x
+x
2
y)dy =(xy
2
dx+x
2
ydy)+(-ye
-x
dx+e
-x
dy)+(ydx+xdy)-dy =xyd(xy)+d(ye
-x
)+d(xy)-dy [*] 所以[*](C为任意常数). 法二 偏积分法.由du(x,y)的表达式知 [*] 其中φ(y)对y可微.由题设知[*] 于是有 x
2
y+x+e
-x
+φ'(y)=x-1+e
-x
+x
2
y, 则φ'(y)=-1,即φ(y)=-y+C(C为任意常数). 所以[*](C为任意常数). 法三 用第二型曲线积分求原函数.由所给的du(x,y)知,[*]中的 P(x,y)与Q(x,y)在全平面具有连续的一阶偏导数且[*]. 故可以用第二型曲线积分,取起点为(0,0)较方便,计算 [*] 由于此曲线积分与路径无关,取折线(0,0)→(0,y)→(x,y),于是 [*]
解析
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考研数学一
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