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  3. 设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，f(1)=1，且满足 ∫01[2f(x)-x(x-1)f”(x)]dx=1， 则f(0)=( )

设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，f(1)=1，且满足 ∫01[2f(x)-x(x-1)f”(x)]dx=1， 则f(0)=( )

admin2023-01-04  22
问题 设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，f(1)=1，且满足
    ∫01[2f(x)-x(x-1)f”(x)]dx=1，
    则f(0)=(          )
选项 A、0．
B、1．
C、2．
D、1／2．
答案A
解析 ∫01x(x-1)f”(x)dx=∫01x(x-1)d[f’(x)]
    =x(x-1)f’(x)｜01-∫01(2x-1)f’(x)dx
    =-∫01(2x-1)d[f(x)]
    =-[(2x-1)f(x)｜01-2∫01f(x)dx]
    =一[f(1)+f(0)]+2∫01f(x)dx．
    由已知，f(1)+f(0)=1，由f(1)=1，得f(0)=0．A正确．
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考研数学一

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