设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，f(1)=1，且满足 ∫01[2f(x)-x(x-1)f”(x)]dx=1，则f(0)=( )

admin2023-01-04 13

问题设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，f(1)=1，且满足
∫₀¹[2f(x)-x(x-1)f”(x)]dx=1，
则f(0)=( )

选项 A、0．
B、1．
C、2．
D、1／2．

答案A

解析 ∫₀¹x(x-1)f”(x)dx=∫₀¹x(x-1)d[f’(x)]
=x(x-1)f’(x)｜₀¹-∫₀¹(2x-1)f’(x)dx
=-∫₀¹(2x-1)d[f(x)]
=-[(2x-1)f(x)｜₀¹-2∫₀¹f(x)dx]
=一[f(1)+f(0)]+2∫₀¹f(x)dx．
由已知，f(1)+f(0)=1，由f(1)=1，得f(0)=0．A正确．

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考研数学一

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