[2003年] 设三阶方阵A,B满足A2B—A—B=E,其中E为三阶单位矩阵,若A=,则∣B∣=_________.

admin2019-05-10  41

问题 [2003年]  设三阶方阵A,B满足A2B—A—B=E,其中E为三阶单位矩阵,若A=,则∣B∣=_________.

选项

答案 注意到所给矩阵方程A2B—A—B=E含单位矩阵E的加项,左端又出现矩阵A的平方,应将它们结合在一起,因式分解,将方程化成矩阵乘积形式,再取行列式求解. 题设等式化为(A2一E)B=A+E,即 (A+E)(A—E)B=A+E. 易求得∣A+E∣=18≠0,故A+E可逆.在上式两端左乘(A+E)-1,得到(A—E)B=E.再在两边取行列式,得 ∣A—B∣∣B∣=1. 因∣A—E∣=[*]=2,故∣B∣=/2.

解析
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