[2003年] 设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则∣B∣=_________．

admin2019-05-10 87

问题 [2003年] 设三阶方阵A，B满足A²B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=

，则∣B∣=_________．

选项

答案注意到所给矩阵方程A²B—A—B=E含单位矩阵E的加项，左端又出现矩阵A的平方，应将它们结合在一起，因式分解，将方程化成矩阵乘积形式，再取行列式求解．题设等式化为(A²一E)B=A+E，即 (A+E)(A—E)B=A+E．易求得∣A+E∣=18≠0，故A+E可逆．在上式两端左乘(A+E)^-1，得到(A—E)B=E．再在两边取行列式，得 ∣A—B∣∣B∣=1．因∣A—E∣=[*]=2，故∣B∣=／2．

解析

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