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非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则
非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则
admin
2012-09-06
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问题
非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则
选项
A、r=m时,方程组Ax=b有解.
B、r=n时,方程组Ax=b有唯一解.
C、m=n时,方程组Ax=b有唯一解.
D、r
答案
A
解析
因为A是m×n矩阵,若秩r(A)=m,则
m=r(A)≤r(A,b)≤m.
于是r(A)=r(A,b).故方程组有解,即应选(A).或,由r(a)=m,知A的行向量组线性无关,那么其延伸组必线性无关,故增广矩阵(A,b)的m个
行向量也是线性无关的.亦知r(A)=r(A,b).
关于(B)、(D)不正确的原因是:由r(A)=n不能推导出r(A,b)=n(注意A是m×n矩阵,m可能大于n),由r(A)=r亦不能推导出r(A,b)=r,你能否各举一个简单的例子?
至于(C),由克莱姆法则,r(A)=n时才有唯一解,而现在的条件是r(a)=r,因此(C)不正确.
本题答对的同学仅40%,一是由r(A)=m不会分析出r(A,b)=m,一是由r(A)=n误认为必有r(A)=n.
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考研数学三
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