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设A=,又B为3阶非零矩阵,使得AB=2B. (Ⅰ)求常数a; (Ⅱ)判断矩阵A是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
设A=,又B为3阶非零矩阵,使得AB=2B. (Ⅰ)求常数a; (Ⅱ)判断矩阵A是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.
admin
2021-03-16
47
问题
设A=
,又B为3阶非零矩阵,使得AB=2B.
(Ⅰ)求常数a;
(Ⅱ)判断矩阵A是否可对角化,若可对角化,求可逆矩阵P,使得P
-1
AP为对角矩阵.
选项
答案
(Ⅰ)由AB=2B得(2E-A)B=0,则r(2E-A)+r(B)≤3, 因为B≠0,所以r(B)≥1,从而r(2E-A)≤2<3,即|2E-A|=0, 即λ=2为矩阵A的特征值. 由|2E-A|=[*]=-(-a-4)=0得a=-4, 即[*] (Ⅱ)由|λE-A|=[*]=(λ+3)(λ-1)(λ-2)=0得 A的特征值为λ
1
=-3,λ
2
=1,λ
3
=2; 因为矩阵A的特征值都是单根,所以矩阵A可以相似对角化. 当λ
1
=-3时,由3E+A=[*]得 λ
1
=-3对应的线性无关的特征向量为α
1
=[*]: 当λ
2
=1时,由E-A=[*]得 λ
2
=1对应的线性无关的特征向量为α
2
=[*] 当λ
3
=2时,由2E-A=[*]得 λ
3
=2对应的线性无关的特征向量为α
3
=[*], 令P=[*],则P
-1
AP=[*]
解析
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考研数学二
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