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设三维列向量α1，α2，α3线性无关，且向量β1=α1+2α2+3α3，β2=α2+α3，β3=α1+α3，则秩r(β1，β2，β3)=_______．
设三维列向量α1，α2，α3线性无关，且向量β1=α1+2α2+3α3，β2=α2+α3，β3=α1+α3，则秩r(β1，β2，β3)=_______．
admin
2021-05-20
14
问题
设三维列向量α
1
，α
2
，α
3
线性无关，且向量β
1
=α
1
+2α
2
+3α
3
，β
2
=α
2
+α
3
，β
3
=α
1
+α
3
，则秩r(β
1
，β
2
，β
3
)=_______．
选项
答案
2
解析
本题考查求抽象向量组的秩的问题，可用初等变换法求解，也可由题设条件建立一个矩阵的等式——见到一组向量由另一组向量线性表示，就要想到“三个东西”，由此矩阵等式可得．
解1 因
(β
1
，β
2
，β
3
)=(α
1
+2α
2
+3α
3
，α
2
+α
3
，α
1
+α
3
)
(2α
2
+2α
3
，α
2
+α
3
，α
1
+α
3
)
(0，α
2
+α
3
，α
1
+α
3
)，由α
1
，α
2
，α
3
线性无关易知α
2
+α
3
，α
1
+α
3
线性无关，故r(α
2
+α
3
，α
1
+α
3
)=2，从而r(β
1
，β
2
，β
3
)=2．
解2 由题设条件，有
(β
1
，β
2
，β
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)
因α
1
，α
2
，α
线性无关，故矩阵A=(α
1
，α
2
，α
)满秩，从而r(β
1
，β
2
，β
3
)=r
=2
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考研数学一
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