在平面有界区域，连续曲线C围成封闭图形，证明：存在实数ξ使直线y=x+ξ平分该封闭图形的面积．

admin2018-03-29 18

问题在平面有界区域，连续曲线C围成封闭图形，证明：存在实数ξ使直线y=x+ξ平分该封闭图形的面积．

选项

答案证明：设y=x+ξ与该图形相交，将其面积分别分为S₁，S₂，则S₁－S₂是关于ξ的连续函数，记F(ξ)=S₁(ξ)－S₂(ξ)，可知F_max=S(S为封闭曲线的面积)，F_min=－S．根据连续函数介值定理，一定存在实数ξ，使F(ξ)=0，即S₁(ξ)=S₂(ξ)，所以存在实数ξ使y=x+ξ平分S．

解析

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